天天热点！从几何角度理解条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

在高等数学中，由于概率、长度、面积等数学对象具有高度统一的性质，所以一起被称为测度.本篇图文通过把概率类比成韦恩图中集合对应封闭图形的面积，给出条件概率、全概率公式和贝叶斯公式的几何意义，并对三者的意义进行简单的说明.

一、条件概率.

(资料图片)

1.事件A发生的情况下事件B发生的概率定义为：

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几何意义：上图中乘积事件AB所占面积与事件A所占面积的比例.

2.条件概率本质上是以已经发生的事件为新的样本空间的子概率.

3.由条件概率的几何意义可以推导事件独立的几何意义如下.

我们知道，若P(A)>0，事件A,B独立当且仅当.由条件概率的几何意义可知，事件A,B独立，当且仅当乘积事件AB所占面积与事件A所占面积的比例，等于事件B所占面积与概率空间Ω所占面积的比例.换言之，事件A,B独立时，事件A限制在事件B内的面积所占事件B的比例，等于事件A限制在事件B外的面积所占事件B对立事件的比例.即事件A"均匀地分布"在事件B内、外，同理事件B也"均匀地分布"在事件A内外.以上是事件独立关系最直接且最准确的解释，这样学生就不容易与"没有关系"、"不能同时发生"等描述相混淆了.

二、全概率公式.

1.全概率公式：设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，且A1∪A2∪...∪An=Ω，且P(Ai)>0,i=1,2,...,n，则对任意事件BΩ，

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几何意义：事件B被A1,A2,...,An分割成了n部分A1B,A2B,...,AnB，所以B的面积等于这n部分面积之和，即P(B)=P(A1B)+P(A2B)+...+P(AnB).而根据概率乘法公式，P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)，i=1,2,...,n，即AiB的面积，等于Ai的面积乘以AiB面积占Ai面积的比例，就可以得到全概率公式.

2.当事件B的概率受事件族A1,A2,...,An的影响，也即P(B|Ai),i=1,2,..,n两两不同时，直接计算事件B的概率是行不通的，需要用到全概率公式.全概率公式的核心，是将事件B的概率的计算，分拆为n个子事件概率的和的计算.

三、贝叶斯公式.

1.贝叶斯公式：设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，且A1∪A2∪...∪An=Ω，且P(Ai)>0,i=1,2,...,n，则对任意事件BΩ，P(B)>0，有

贝叶斯公式的核心部分在表达式P(Ai|B)(后面两个表达式只是一种展开)，其几何意义为乘积事件AiB的面积占事件B的面积的比例.后面两部分的几何意义不再赘述.

2.与其说贝叶斯公式是一种公式，不如说是一种思想.事件B的发生有多种"诱因"A1,A2,...,An，各种诱因发生的概率P(Ai),i=1,2,...,n,称为先验概率，且不同"诱因"发生时事件B发生的概率为P(B|Ai),i=1,2,...,n.而当"结果"事件B发生时，我们可以"执果索因"，分析各种诱因所应承担的"责任"P(Ai|B),i=1,2,...,n，也被称为后验概率.

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